SAT 數學增根怎麼檢查？代回原式的完整示範

判斷是否為增根，請把每個候選解代回原方程式，並檢查定義域限制。如果某個值只在平方或約分後成立，卻不符合原式，就不是原方程式的解。

College Board 的 Advanced Math 說明涵蓋分式、根式與其他非線性方程式。本文用自行編寫的練習例題示範驗根方法，並非官方 SAT 試題。

先寫限制條件，再做代數運算

在實數範圍內，平方根內的式子必須大於或等於零，分母不能等於零。平方根符號表示非負的平方根。先把限制條件寫在原式旁，避免化簡後忘記它們。

平方可能使正負號資訊消失：2² 與 (−2)² 相等，但 2 與 −2 並不相等。Paul’s Online Notes 的根式方程式教材說明了為什麼必須把候選解代回原式。以下逐步示範。

在實數範圍內解 √(2x + 15) = x。根號內的式子要求 x ≥ −7.5；又因左邊非負，真正的解還必須符合 x ≥ 0。

兩邊平方得 2x + 15 = x²。移項並因式分解：x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3) = 0。因此候選解為 5 與 −3。

把 x = 5 代回原式：√(2 × 5 + 15) = √25 = 5，成立。把 x = −3 代回原式：√(2 × (−3) + 15) = √9 = 3，不等於 −3。因此唯一的解是 x = 5。

−3 是增根，不是因式分解時算錯。平方後的方程式也接受了符號不符的值。如果只檢查 x² − 2x − 15 = 0，就會漏掉這個問題。

解 (x² − 9)/(x − 3) = 6。先記下 x ≠ 3，因為原式的分母不能為零。

分子因式分解後為 (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = 6。在 x ≠ 3 的條件下，約分得到 x + 3 = 6，算出的候選解是 x = 3。但這個值一開始就被排除了：代回原分式會得到沒有定義的 0/0。因此原方程式無解。

比較另一題：(x² − 9)/(x − 3) = 7。限制條件相同，但 x + 3 = 7 得到 x = 4。代回原式，(16 − 9)/(4 − 3) = 7，所以 4 是有效的解。方程式有分母，不代表每個候選解都要排除。

解 √(2x + 3) = x。有哪些候選解？哪些符合原方程式？

平方後得 x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1) = 0，候選解為 3 與 −1。代入原式，第一個值得到 √9 = 3；第二個值則得到 √1 = 1 ≠ −1。因此解集合為 {3}。

先記錄原式的限制條件，再求候選解，最後代回原方程式。接著看清楚題目要你回答的是數值、解的個數，還是解集合。不要只因變形後的二次方程式有兩個根，就回答原式有兩個解。

想繼續練習，可使用 College Board 的數學 Student Question Bank挑選非線性方程式題目。在筆記中記錄被排除的值與原因，例如符號不符、分母為零，或不符合原式的其他條件。這是一項驗算習慣，不是分數提升的保證。

更多相關內容請見 SAT 準備文章分類。本課程由 XMocks 獨立編寫，並非 College Board 官方練習題。