SAT 數學條件機率：先找對「已知」的那一群

用雙向表計算條件機率時，先把範圍縮小到「已知」條件指定的那一群。分母是這一群的總人數；分子則是其中同時符合所求條件的人數。

College Board 的 Problem-Solving and Data Analysis 說明涵蓋機率與條件機率。本文使用自編的虛構表格練習判斷分母，並非官方 SAT 試題。

先讀表格，再核對總數

以下是虛構例題：40 名學生依平常的到校方式與是否參加程式設計社分類。每名學生恰好使用表列兩種到校方式之一，且不是社團成員，就是非成員。從這 40 名學生中隨機選出一人，每人被選到的機會相同。

到校方式	社團成員	非成員	合計
搭公車	9	15	24
步行	7	9	16
合計	16	24	40

搭公車那一列合計 9 + 15 = 24 人；步行那一列合計 7 + 9 = 16 人。社團成員那一欄合計 9 + 7 = 16 人；全表總數為 24 + 16 = 40 人。先核對加總，可以確認自己沒有讀錯人數。

已知搭公車：分母用 24，不是 40

問題：已知被選到的學生搭公車，這名學生是程式設計社成員的機率是多少？

已知條件把範圍縮小為 24 名搭公車的學生，其中 9 人是社團成員。因此 P(社團成員 | 搭公車) = 9/24 = 3/8。

P(社團成員 | 搭公車) 中的直線符號表示「已知」。先讀直線右邊的事件，確定計算範圍。Stanford 網站上的機率教材將條件機率定義為 P(A | B) = P(A 且 B)/P(B)，前提是 P(B) 不為零。在每人被選機會相同的人數表中，這就相當於用同時符合兩項條件的人數，除以已知那一群的總人數。

看懂容易選錯的分母

針對「已知搭公車」的問題，比較以下自編選項：A. 9/40；B. 9/24；C. 9/16；D. 16/40。正確答案是 B。

選項 A 用全體 40 人當分母，回答的是「搭公車且是社團成員」的聯合機率。選項 C 用 16 名社團成員當分母，把已知條件反過來了。選項 D 是不附帶公車條件時，從全體學生選到社團成員的機率。一個分數可能適用於另一個問題，卻不符合這一題。

把已知條件反過來，答案就不同

現在改問 P(搭公車 | 社團成員)。已知那一群是 16 名社團成員，其中 9 人搭公車，因此 P(搭公車 | 社團成員) = 9/16。同時符合兩項條件的人數仍為 9，但分母從 24 變成 16。這兩個條件機率不能直接互換。

用同一張表再練習一題

P(步行 | 社團成員) 是多少？先判斷分母，再看答案。

社團成員共有 16 人，其中 7 人步行。因此 P(步行 | 社團成員) = 7/16。7/40 回答的是「步行且是社團成員」；7/16 才回答題目要求的條件機率。

還可以再核對：P(非成員 | 搭公車) = 15/24 = 5/8。在搭公車這一群中，社團成員與非成員涵蓋全部可能，因此 3/8 + 5/8 = 1。

建立簡短的讀表流程

先找出已知那一群，確認人數大於零，再找出同時符合所求條件的人數，最後相除。如果已知事件的機率為零，一般的條件機率公式就沒有定義；不能除以零，也不能自行換一個分母。

想做官方練習，可使用 College Board 的數學 Student Question Bank，挑選機率與條件機率題目。在計算前，先用文字寫出分母代表哪一群。這是一項核對習慣，不是分數提升的保證。

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